中外科学家发明家丛书:希尔伯特-第3章
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此后几星期，希尔伯特到慕尼黑参加了德国数学会年会。这个学会是最
近才由包括希尔伯特在内的一群数学家筹建起来的，其目的是为了使不同的
数学分支之间有更多的交流。会上，希尔伯特提出了关于将一个域中的数分
解成素理想数的两个新证明。虽然他刚刚开始发展代数数论方面的工作，但
他的能力显然深深打动了其他成员。学会有一项计划，要按年发表不同数学
领域的综述性文章。现在，经大家公认请希尔伯特和闵可夫斯基在两年内准
备一篇数论发展现状报告。这样紧急地指定这项任务，是因为库莫尔、克隆
尼克和戴德金的革命性工作极其复杂，以至当时大多数数学家依旧无法理解
它。现在人们期待希尔伯特和闵可夫斯基来改变这种状况，这种期待不仅是
对他们的数学能力的称颂，也是对他们具有简明和清晰的数学表达力的赞
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赏。
随着闵可夫斯基在1894年返回哥尼斯堡，希尔伯特感到心满意足，因为
再不能有更好的合作者来一起写这份年度报告了。现在，年度报告在希尔伯
特心中开始成形。对一个年轻数学家来讲，干数学会分派的任务，也许是一
件不受欢迎的零活，但希尔伯特并不这样认为，他已经用自己的工作表明，
他对把互反律推广到代数数域特别感兴趣。目前，他自愿把这些计划搁置一
边，而要在写这份指定的报告时看准机会为更深入的研究打下必不可少的基
础。虽然他俩不喜欢靠书本来做学问，但他却阅读了自高斯时代以来所有发
表的有关数论的著作。对一切已知定理的证明，都要仔细地揣摩以估量优劣。
然后，他必须去判定哪些证明中的“原理能够加以推广，对进一步的研究最
为有用”。可在能够作出选择之前，进一步的研究必须先开展起来。那些一
直阻碍着人们去全面评价和领悟他的前辈工作的那些思想作风方面的困难，
必须予以清除。决定已经做出，这份报告应该分成两个部分：闵可夫斯基讨
论有理数论；希尔伯特讨论代数数论。在1894年期间，希尔伯特为他所承担
的那部分报告奠定了基础。
可是没过多久，这两位肝胆相照的挚友又得惜别。12月初，希尔伯特接
到世所公认德国数学界的领袖——克莱因来自哥廷根的信，信中说：“我将
尽力让你取得这里的任命。”“为了我的科学团体，我需要你这样的人。因
为你的研究方向，你丰富而强有力的教学思想，以及你处在富于创造活动的
年龄。”“你还能产生出使我返老还童的影响。”“但是，有件事你今天就
得答应我：倘若你接到任命，你将不会拒绝。”
没有记录说明希尔伯特曾考虑过拒绝，事实上，他欣喜若狂地给克莱因
回信说：“我的一切努力所追求的最终目的，本希望只能在遥远的未来才能
实现的夙愿，已经有了实现的可能。”“你，范围更大的影响力的环境，以
及你们这所大学的光荣，都将提供一种科学上的刺激力，这对我来说最有决
定意义的。”
六、哥廷根的教授
哥廷根，是座寂静秀丽的小城市，古老的城墙至今还围绕着哥廷根的内
城。哥廷根大学的科学传统为卡尔·弗里德里希·高斯所首创。高斯于1795
年进入哥廷根大学，在他21岁离开大学之前，就已经完成了那篇数论杰作《算
术研究》。当他年事已高时，他在数学与应用数学方面赢得了与阿基米德和
牛顿相当的荣誉。
希尔伯特1895年3月来到哥廷根时，差不多刚好是高斯到达这里之后的
整整100年。当时，这里有两位著名的数学家——克莱因和海因里奇·韦伯。
克莱因的声望吸引着世界各国的学生。他的讲演被奉为经典。因为他每
次在开始讲课之前都已经为所有公式、图表和引文作好了周密的安排。讲演
过程中写上黑板的东西从来不必擦掉。最后，整个黑板就包含了对讲演的内
容的一个绝妙概括，每一个小方块都写得恰到好处井然有序。与之相比，希
尔伯特的讲演就远不如其尽善尽美，而是不修边幅，难免错漏，有时还表现
出那种忽然有所发现的不适当的冲动，但是希尔伯特惯于回顾他上一次课讲
过的内容，这种类似于大学预科学校的讲课技巧是被当时其他教授瞧不起
的，但是因为他的讲演充满了精采的观点，不久似乎就给许多学生造成了更
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深刻的印象。
在希尔伯特讲授行列式和椭圆函数的时候，闵可夫斯基在哥尼斯堡接受
了作为他朋友的继承人的职位，希尔伯特在哥廷根认真地准备着1893年德国
数学会要求他和闵可夫斯基在两年内合作完成的年度报告，1896年初，希尔
伯特的那部分报告接近完成，手稿全部由喀娣·希尔伯特用清楚圆润的笔迹
誊好付印。校样一出来就被邮往哥尼斯堡请闵可夫斯基过目。闵可夫斯基和
赫维茨将全部校样极为仔细地审读后，将校正和建议接连地寄往哥廷根，这
使得希尔伯特有点不耐烦了。闵可夫斯基便写信安慰他：“细致有好处。”
“报告很快就完成，并将获得高度评价，请您想想这点，并以此告慰自己吧！”
报告定稿后，希尔伯特为 《报告》写了引言，充分地表达了自己撰写这
篇杰作的思想方法。他还在引言中强调了大数学家们对数论所表示的重视。
《报告》上署明的最后日期是：1897年4月10日。
《报告》出版后，闵可夫斯基又以最大的热忱写信祝贺：“我相信，在
不久的将来，您将会列入数论领域中伟大的经典学者的行列。”“同时我还
要向您的夫人祝贺，她为所有数学家的妻子作出良好的榜样，这将永远留在
人们的记忆之中。”
这份代数数域方面的报告，无论在哪一方面都超过了数学会成员们的期
望。他们本来只要求对这门理论当前的状况作一个概述，而收到的却是一篇
杰作，它简单而明了地将最近以来全部困难的发展融成了一篇优美而完整的
理论。一位同时代的评论家认为，《报告》是一篇令人振奋的艺术佳作，后
来有一位作者则称它是数学文献宝库中一件真正的珍品。希尔伯特在这篇报
告中所作出的创造性贡献，其重要意义可以举一条定理为例来说明，它今天
仍然以简称“定理90”而闻名，这定理所包含的概念，导致了同调的发展，
而同调代数在代数几何和拓扑学中都起着十分重要的作用。
希尔伯特准备 《报告》时的工作，使他具备了这一领域的既精湛又全面
的知识。他谨慎地但又充满信心地向前迈进着。
次年，希尔伯特又发表了题为《相对阿贝尔域理论》的文章，建立了探
讨“类域”论所必需的方法和概念。如果说希尔伯特关于不变量的工作，是
一项发展性的成果，则这次在代数数域方面的工作是开创性的，然而对他而
言，紧接在开创之后，又在“急转弯”了。
希尔伯特教授将于1898至1899年冬讲授几何基础的预告，使学生们都
感到很惊异。自从3年前到哥廷根以来，他对这些学生一直是“只谈数域”
的，不过，这种新的兴趣也并不是完全没有先兆的。
还是在做讲师的时候，赫尔曼·维纳在一次讲座中对几何实质的抽象观
点影响了希尔伯特。后来希尔伯特想：“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒
杯来代替点、线、面。”这种朴素的说法，蕴含了他现在打算提出的讲演的
实质。
为了理解希尔伯特对几何学所采取的研究途径，我们必须记住，数学起
初是一堆并不无严格次序的命题，这些命题或者是自明的，或者是从其他看
来是自明的命题通过清楚的逻辑的方式而获得的。这种明显的准则，无保留
地被应用来扩展数学知识。
希尔伯特编写了 《几何基础》的讲义，这份讲义一经出版，又产生了巨
大的影响。在几个月内成了最畅销的数学书，被译成了英语、法语等多种语
言。那些三年多来听他谈论代数数域的学生，无不惊异地称赞着这部著作的
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成功。但甚至就在他们惊讶的时候，希尔伯特又开始在另一个完全不同的数
学领域里发展研究成果了。
1899年夏，他转向了一个著名的老问题——“狄里克莱原理”。这一作
为几何函数论的基础的狄里克莱原理，已经提出近半个世纪了，但这时的数
学家们却已把这个原理看作濒临绝境。希尔伯特遵循了导师克莱因“用新方
法来解决老问题，自然，就会引出新问题”的教导，坚信严格性有助于方法
的简化。
没过多久，希尔伯特就向德国数学会提出了挽救狄里克莱原理的初步尝
试，他把这个尝试叫做狄里克莱原理的“复活”。整个论文包括引言在内还
不到六页，却被赞誉为“妙手回春”之作。（6年以后，在哥廷根科学协会
成立150周年之际，希尔伯特又回到了这个问题上，并给出了狄里克莱原理
的第二个证明）。
挽救狄里克莱原理获得成功以后，希尔伯特决定于1899至1900年的冬
季学期讲授变分法——在他的教授生涯中，他还是第一次开这门课。
希尔伯特在这一时期的数学兴趣，比他在哥尼斯堡当讲师以来的任何时
候都要广泛。他继续研究几何学，并发表了几篇有关的论文。他还发表了一
篇题为 《数的概念》的文章，正是在如此丰富多采的研究活动中，希尔伯特
收到了要他在1900年夏天于巴黎举行的第2次国际数学家代表大会上作主要
发言的邀请。
七、新世纪
1900年，新世纪诱人地展现在他的面前，犹如一张白纸，一支新笔，等
待他去写最精采的文章，画最美的图画。希尔伯特此时站在数学发展的最前
沿，他在准备发表一篇能与这个重要时机相宜的、替纯粹数学辩护且预计新
世纪数学发展方向的演说，他犹豫着该选怎样的题材。闵可夫斯基认为：“最
有意义的题材，莫过于展望数学的未来，提出数学家们应当在新世纪里努力
解决的问题。这样，你的讲演在往后的数十年中将成为人们议论的中心话
题”。
希尔伯特一直在冥思苦想，可是直到6月份还未写出讲稿。已经发出的
会议日程表中就没有了他的讲演。到了7月中旬，他才将以《数学问题》为
题的讲稿清样寄给了闵可夫斯基。闵河夫斯基和赫维茨花了整整几个星期的
时间，极其审慎地研究了希尔伯特的讲稿，他们从讲稿的内容以及讲的方式
上都提出了建议，认为讲稿太长了，并且要他把“每个确定的数学问题都应
该能得到明确的答案，或者是肯定的回答，或者是证明该问题的不可能性”
的这段话，作为整个讲演稿的有力结尾。
8月8日，星期三，上午，一位38岁的数学家登上了讲坛。此人中等身
体，矫健敏捷，宽广的前额引人注目，已经光秃的头顶、疏落地余留着淡红
色的发丝。高高的鼻梁上架着一副眼镜。不大的连鬓胡。略显散乱的唇髭下，
一张丰满的大嘴，同细巧的下巴形成鲜明的对照。明亮的蓝眼睛，透过闪亮
的镜片射出纯真而又坚定的目光。这位讲演者，虽然外表朴素无华，他那刚
强的品格和卓越的才智所酿成的气氛，却驱走了巴黎的炎热，吸引着每一位
与会者的心。
他准备了一个法文的讲稿摘要，将它分发给听众。在当时，会议并没有
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规定要这样做。大家以感谢的心情等待着讲演的开始。为了照顾不很懂德语
的听众，希尔伯特缓慢地。谨慎地开始了他的讲演。
在讲演中，希尔伯特强调了决定着一门科学发展方向的问题的重要性，
考察了重大而富有成果的问题的特点，阐述了对于问题的“解答”的要求。
然后他就提出讨论了23个个别的问题。他相信，这些问题的解决，必将大大
推动20世纪数学的发展。
